Álgebra de Boole | Disciplinas

1. Leis da álgebra booleana

Utilizando as operações básicas vistas na parte anterior, esta parte apresenta regras adicionais e leis da lógica booleana necessárias para analisar e desenvolver expressões lógicas.

1.1. Teoremas de uma única variável

Como o título sugere, esta seção detalha as operações de portas lógicas quando somente uma variável está presente.

Leis da idempotência

Demonstram que uma operação pode se aplicada várias vezes sem alteração do valor do resultado inicial.

$A \cdot A = A$

$A + A = A$

Propriedade do elemento inverso

Mostra o efeito de uma operação aplicada a uma variável e o complemento desta.

$A \cdot \overline{A} = 0$

$A + \overline{A} = 1$

Lei da involução

O complemento do complemento de uma variável é igual à própria variável.

$\overline{\overline{A}} = A$

Identidade

$A \cdot 1 = A$

$A + 0 = A$

Anulamento

$A \cdot 0 = 0$

$A + 1 = 1$

1.2. Teoremas multivariável

Essas regras se aplicam a operações de álgebra booleana que usam mais de uma variável.

Propriedade comutativa

Mostra que a saída é a mesma independentemente da ordem das entradas.

$X \cdot Y = Y \cdot X$

$X + Y = Y + X$

Propriedade associativa

Mostra que a ordem de executar uma operação não altera o resultado.

$(X \cdot Y) \cdot Z = X \cdot (Y \cdot Z)$

$(X + Y) + Z = X + (Y + Z)$

Propriedade distributiva

Mostra como expandir equações.

$A \cdot (B + C) = (A \cdot B) + (A \cdot C)$

$A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$

Teorema de De Morgan

$\overline{(A + B)} = \overline{A} \cdot \overline{B}$

$\overline{(A \cdot B)} = \overline{A} + \overline{B}$

Leis da absorção

$A \cdot (A + B) = A$

$A + (A \cdot B) = A$

2. Exercícios

Simplifique as seguintes expressões utilizando as leis da álgebra de Boole:

$Z = A + (\overline{A} \cdot B)$
$Z = A \cdot ((A + \overline{A}) + \overline{B})$
$Z = A + (\overline{A} \cdot B)$
$Z = (A \cdot B) + B \cdot C \cdot (B + C)$
$Z = A + A \cdot B$

3. Referências

CROWE, John; HAYES-GILL, Barrie. Introduction to digital electronics. Elsevier, 1998.
LINCOLN, Betty. Introduction to Digital Electronics, 1/e. Pearson Education India, 2014.